Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn. Gọi A là hình chiếu của O trên d. Từ A kẻ cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Hai tiếp tuyến Bx và Cy cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AE = AD.
+) Chứng minh tứ giác OAEC và OBAD là tứ giác nội tiếp.
+) Chứng minh \(\widehat {OEC} = \widehat {ODB}.\)
+) Chứng minh \({\Delta _v}OCE = {\Delta _v}OBD \Rightarrow OE = OD\).
+) Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là trung tuyến.
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tứ giác OAEC có: \(\widehat {OAE} + \widehat {OCE} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \)Tứ giác OAEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800)
\( \Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {OAC}\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC)
Xét tứ giác OBAD có: \(\widehat {OBD} = \widehat {OAD} = {90^0} \Rightarrow \) Hai điểm A, B cùng nhìn OD dưới góc 900\( \Rightarrow A;B\) thuộc đường tròn đường kính OD \( \Rightarrow \) Tứ giác OBAD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD \( \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {ODB} = \widehat {OAC}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {ODB}.\)
Xét \({\Delta _v}OCE\) và \({\Delta _v}OBD\) có \(OC = OB = R;\,\,\widehat {OCE} = \widehat {ODB}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow {\Delta _v}OCE = {\Delta _v}OBD\) (cạnh góc vuông – góc nhọn)
\( \Rightarrow OE = OD\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta OED\) cân tại O
\( \Rightarrow \) Đường cao OA đồng thời là đường trung tuyến \(AE = AD\) (đpcm).