Bài 7 trang 102 Dạy và học Toán 9 tập 2: Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn. Gọi A là hình chiếu của O trên d....

Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) ở ngoài đường tròn. Gọi A là hình chiếu của O trên d. Từ A kẻ cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Hai tiếp tuyến Bx và Cy cắt d lần lượt tại D và E. Chứng minh AE = AD.

+) Chứng minh tứ giác OAEC và OBAD là tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh $\widehat {OEC} = \widehat {ODB}.$

+) Chứng minh ${\Delta _v}OCE = {\Delta _v}OBD \Rightarrow OE = OD$.

+) Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân, đường cao đồng thời là trung tuyến.

Xét tứ giác OAEC có: $\widehat {OAE} + \widehat {OCE} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow$Tứ giác OAEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180⁰)

$\Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {OAC}$ (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OC)

Xét tứ giác OBAD có: $\widehat {OBD} = \widehat {OAD} = {90^0} \Rightarrow$ Hai điểm A, B cùng nhìn OD dưới góc 90⁰$\Rightarrow A;B$ thuộc đường tròn đường kính OD $\Rightarrow$ Tứ giác OBAD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD $\Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {ODB} = \widehat {OAC}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {OEC} = \widehat {ODB}.$

Xét ${\Delta _v}OCE$ và ${\Delta _v}OBD$ có $OC = OB = R;\,\,\widehat {OCE} = \widehat {ODB}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow {\Delta _v}OCE = {\Delta _v}OBD$ (cạnh góc vuông – góc nhọn)

$\Rightarrow OE = OD$ (2 cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta OED$ cân tại O

$\Rightarrow$ Đường cao OA đồng thời là đường trung tuyến $AE = AD$  (đpcm).