Bài 9 trang 102 Tài liệu dạy và học Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các...

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ. Chứng minh D nằm trên đường tròn (O).

+) Đặt $\widehat {BAC} = \alpha$.

+) Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và $\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha$.

+) Chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và $\widehat {MQC} = \alpha$

+) Tính $\widehat {BDM};\,\,\widehat {MDC}$ theo $\alpha$, chứng minh $\widehat {BDC} = \alpha$.

Đặt $\widehat {BAC} = \alpha$.

Ta có: PM // AC nên $\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha$ (hai góc đồng vị bằng nhau)

Áp dụng định lí Ta-let ta có : $\dfrac{{PM}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{AB}}$. Mà $AB = AC \Rightarrow PM = PB$.

Vì D đối xứng M qua PQ nên PQ là trung trực của MD $\Rightarrow PM = PD$.

$\Rightarrow PM = PD = PB \Rightarrow P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM.

$\Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BPM}$ (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

$\Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\alpha$.

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và $\widehat {MQC} = \alpha$

$\Rightarrow \widehat {MDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {MQC} = \dfrac{1}{2}\alpha$ (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

$\Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BDM} + \widehat {MDC} = \dfrac{1}{2}\alpha  + \dfrac{1}{2}\alpha  = \alpha  = \widehat {BAC} \Rightarrow$ Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc cùng chắn 1 cung bằng nhau).

Vậy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.