Bài 8 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn BC tại M và tia Ay cắt đoạn CD kéo dài tại N....

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn BC tại M và tia Ay cắt đoạn CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và AND bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

a) Chứng minh \(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\), chứng minh \({\Delta _v}ABM\) và \({\Delta _v}ADN\) bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn.

b) Chứng minh tam giác AMN cân tại A \( \Rightarrow AO \bot MN\).

Chứng minh tứ giác ABMO có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Chứng minh tứ giác ANDO có hai đỉnh O; D cùng nhìn AN dưới góc 90⁰.

c) Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh \(\widehat {BOM}\) và \(\widehat {DON}\) bằng nhau.

a) Ta có: \(\widehat {BAM} = \widehat {BAD} - \widehat {MAD} = {90^0} - \widehat {MAD}\).

\(\widehat {DAN} = \widehat {MAN} - \widehat {MAD} = {90^0} - \widehat {MAD}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {DAN}\)

Xét \({\Delta _v}ABM\) và \({\Delta _v}ADN\) có:

\(AB = AD\)  (ABCD là hình vuông)

\(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow {\Delta _v}ABM = {\Delta _v}ADN\)(cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) \({\Delta _v}ABM = {\Delta _v}ADN\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AM = AN\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A.

\( \Rightarrow \) Trung tuyến AO đồng thời là đường cao \( \Rightarrow AO \bot MN \Rightarrow \widehat {AOM} = {90^0}\).

Xét tứ giác ABMO có: \(\widehat {AOM} + \widehat {ABM} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác ABMO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Xét tứ giác ANDO có: \(\widehat {AON} = \widehat {ADN} = {90^0} \Rightarrow \) Hai điểm O; D cùng nhìn AN dưới góc 90⁰\( \Rightarrow A;D\) thuộc đường tròn đường kính AN \( \Rightarrow \) Tứ giác ANDO nội tiếp đường tròn đường kính AN.

c) Vì tứ giác ABMO nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {BAM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM).

Tứ giác ANDO nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {DON} = \widehat {DAN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN).

\({\Delta _v}ABM = {\Delta _v}ADN\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {DON}\). Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị \( \Rightarrow B;D;O\) thẳng hàng.