Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác \(ABC\) có \(AB=c, BC=a, AC=b.\)
a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).
b) Tính độ dài trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC.\)
Giải
a)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \\ = \dfrac{1}{2}(|\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} {|^2} – {\overrightarrow {AB} ^2} – {\overrightarrow {BC} ^2})\\= \dfrac{1}{2}({\overrightarrow {AC} ^2} – {\overrightarrow {AB} ^2} – {\overrightarrow {BC} ^2})\\ = \dfrac{1}{2}({b^2} – {c^2} – {a^2}).\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\ = \dfrac{1}{2}[{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} – {(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} )^2}]\\= \dfrac{1}{2}({\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} – {\overrightarrow {CB} ^2})\\ = \dfrac{1}{2}({c^2} + {b^2} – {a^2}).\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên :
\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\overrightarrow {AM} ^2} = \dfrac{1}{4}{(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )^2}\\ = \dfrac{1}{4}({\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} )\\= \dfrac{1}{4}({c^2} + {b^2} + {c^2} + {b^2} – {a^2})\\ = \dfrac{1}{4}(2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}).\end{array}\)
Vậy \(AM = \dfrac{1}{2}\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} – {a^2}} .\)