Cho hai điểm cố định \(A ,B\) có khoảng cách bằng \(a.\)
a) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = k\).
b) Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\).
a) Gọi \(O\) là trung điểm cả \(AB\) thì \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} \).
Với moi điểm \(M\) ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\ = (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} ).(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )\\ = (\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} ).(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )\\= M{O^2} - O{B^2} \\= M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}.\end{array}\)
Từ đó
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = k \)
\(\Leftrightarrow M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = k\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + k. (*)\)
Ta có \(O\) cố định, \(\dfrac{{{a^2}}}{4} + k\) là số không đổi nên:
- Nếu \(k < - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) là tập các điểm rỗng.
- Nếu \(k = - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) chỉ gồm một điểm \(O\).
- Nếu \(k > - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) thì tập các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4k} .\)
b) Lấy điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}.\)
Từ đó có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = 2{a^2}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN} = 0 \Leftrightarrow CN \bot AB.\end{array}\)
Vậy tập hợp các điểm \(N\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(C.\)