Bài 19 trang 41 SBT Hình 10 nâng cao: Do đó...

Cho đa giác đều $A_1A_2…A_n$ nội tiếp trong đường tròn $(O ; R)$ và một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}$ $+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0;$

b) $MA_1^2 + MA_2^2 + ... + MA_n^2$ có giá trị không đổi.

Giải

a) Theo định nghĩa của tích vô hướng ta có ( với mỗi $i \in \left\{ {1,2,..n} \right\}$):

$\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {O{A_i}}  = OM.O{A_i}.\cos \widehat {MO{A_i}}$

$= {R^2}\cos \widehat {MO{A_i}}.$

Do đó

$\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}$$+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\overrightarrow {OM} .(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).$

Theo bài 7( chương I) thì $\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}}  = \overrightarrow 0$, nên :

$\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}$$+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0$.

b) Ta có

$\begin{array}{l}MA_1^2 + MA_2^2 + ... + MA_n^2 \\= {\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {\overrightarrow {M{A_n}} ^2}\\= {(\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OM} )^2} + ... + {(\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OM} )^2}   \\ = OA_1^2 + OA_2^2 + ... + OA_n^2 + nO{M^2} - 2(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).\overrightarrow {OM} \\= {R^2} + {R^2} + ... + {R^2} + n{R^2} - 0 = 2n{R^2}.\\\end{array}$