Advertisements (Quảng cáo)
Cho đa giác đều \(A_1A_2…A_n\) nội tiếp trong đường tròn \((O ; R)\) và một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng:
a) \(\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}\) \(+ … + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0;\)
b) \(MA_1^2 + MA_2^2 + … + MA_n^2\) có giá trị không đổi.
Giải
a) Theo định nghĩa của tích vô hướng ta có ( với mỗi \(i \in \left\{ {1,2,..n} \right\}\)):
\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {O{A_i}} = OM.O{A_i}.\cos \widehat {MO{A_i}}\)
\(= {R^2}\cos \widehat {MO{A_i}}.\)
Do đó
\(\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}} \)\(+ … + \cos \widehat {MO{A_n}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\overrightarrow {OM} .(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + … + \overrightarrow {O{A_n}} ).\)
Theo bài 7( chương I) thì \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + … + \overrightarrow {O{A_n}} = \overrightarrow 0 \), nên :
\(\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}\)\( + … + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0\).
b) Ta có
\(\begin{array}{l}MA_1^2 + MA_2^2 + … + MA_n^2 \\= {\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + … + {\overrightarrow {M{A_n}} ^2}\\= {(\overrightarrow {O{A_1}} – \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {O{A_2}} – \overrightarrow {OM} )^2} + … + {(\overrightarrow {O{A_n}} – \overrightarrow {OM} )^2} \\ = OA_1^2 + OA_2^2 + … + OA_n^2 + nO{M^2} – 2(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + … + \overrightarrow {O{A_n}} ).\overrightarrow {OM} \\= {R^2} + {R^2} + … + {R^2} + n{R^2} – 0 = 2n{R^2}.\\\end{array}\)