Bài 19 trang 103 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Cho hai đường thẳng...

Cho hai đường thẳng

${d_1}:\,\left\{ \matrix{  x = 2 - 3t \hfill \cr  y = 1 + t \hfill \cr}  \right.$

và ${d_2}:\,\left\{ \matrix{  x =  - 1 - 2t’. \hfill \cr  y = 3 - t’. \hfill \cr}  \right.$;

a) Tìm tọa độ giao điểm $M$ của $d_1$ và $d_2$.

b) Viết phương trinh tham số và phương trình tổng quát của:

- Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d_1$;

- Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d_2$.

a) Tọa độ của $M$ ứng với nghiệm $t, t’$ của hệ $\left\{ \matrix{  2 - 3t =  - 1 - 2t’. \hfill \cr  1 + t = 3 - t’. \hfill \cr}  \right.$.

Giải hệ ta được $t =  \dfrac{7}{5} ,  t’ =  \dfrac{3}{5}$. Từ đó ta tính được $M = \left( { -  \dfrac{{11}}{5} ;  \dfrac{{12}}{5}} \right)$.

b) $d_1$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ( - 3 ; 1)$.

Đường thẳng ${\Delta _1}$ qua $M$ và vuông góc với $d_1$ nên${\Delta _1}$có phương trình tổng quát:

$- 3.\left( {x +  \dfrac{{11}}{5}} \right) + 1.\left( {y -  \dfrac{{12}}{5}} \right) = 0$ hay $3x-y+9=0.$

Từ phương trình tổng quát, cho $x=t$, ta được phương trình tham số của ${\Delta _1}$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 9 + 3t\end{array} \right.$.

Tương tự, đường thẳng  ${\Delta _2}$ qua $M$ và vuông góc với $d_2$ có phương trình tổng quát : $2x + y + 2 = 0$ và phương trình tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = t’\\y =  - 2 - 2t’\end{array} \right.$.