Bài 20 trang 41 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Bởi vậy...

Cho tam giác $ABC$ có $AB =c, BC=a, CA=b$. Gọi $M$ là điểm sao cho $\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC}$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$. Xét trường hợp đặc biệt khi $k = \dfrac{1}{2}$.

Giải

Từ điều kiện $\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC}$, ta suy ra

$\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = k(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )$ hay $\overrightarrow {AM}  = (1 - k)\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AC} .$

Bởi vậy

$\begin{array}{l}A{M^2} = {\overrightarrow {AM} ^2}\\ = {\left[ {(1 - k)\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AC} } \right]^2}\\= {(1 - k)^2}{\overrightarrow {AB} ^2} + {k^2}{\overrightarrow {AC} ^2} + 2k(1 - k)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = {(1 - k)^2}{c^2} + {k^2}{b^2} + 2k(1 - k).\dfrac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\\ = (1 - k){c^2} + k{b^2} - k(1 - k){a^2}.\end{array}$

Trong trường hợp $k = \dfrac{1}{2}$ thì $M$ là trung điểm của cạnh $BC, AM$ là đường trung tuyến. Khi đó ta có công thức trung tuyến: $AM = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}$.