Cho tam giác ABCABC có AB=c,BC=a,CA=b.AB=c,BC=a,CA=b. Đặt
→u=(→AB.→BC)→CA+(→BC.→CA)→AB→u=(−−→AB.−−→BC)−−→CA+(−−→BC.−−→CA)−−→AB+(→CA.→AB)→BC.+(−−→CA.−−→AB)−−→BC.
Chứng minh rằng
a) →u=−abc(cosB→CAb+cosC→ABc+cosA→BCa);→u=−abc⎛⎝cosB−−→CAb+cosC−−→ABc+cosA−−→BCa⎞⎠;
b) Nếu ABC là tam giác đều thì →u=→0→u=→0;
c) Nếu →u=→0→u=→0 thì ABC là tam giác đều.
Giải
a) Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
→u=ca.cos(1800−B).→CA+ab.cos(1800−C).→AB+bc.cos(1800−A).→BC=−ca.cosB.→CA−ab.cosC.→AB−bc.cosA.→BC=−abc(cosB→CAb+cosC→ABc+cosA→BCa).→u=ca.cos(1800−B).−−→CA+ab.cos(1800−C).−−→AB+bc.cos(1800−A).−−→BC=−ca.cosB.−−→CA−ab.cosC.−−→AB−bc.cosA.−−→BC=−abc⎛⎝cosB−−→CAb+cosC−−→ABc+cosA−−→BCa⎞⎠.
b) Nếu tam giác ABCABC đều thì a=b=c,a=b=c, cosA=cosB=cosC,cosA=cosB=cosC, từ đó suy ra →u=−a2.cosA.(→CA+→AB+→BC)→u=−a2.cosA.(−−→CA+−−→AB+−−→BC)=→0.=→0.
c) Nhân vô hướng vec tơ →u=→0→u=→0 lần lượt với →CAb,→ABc,→BCa−−→CAb,−−→ABc,−−→BCa, ta có:→u.→CAb=0→u.−−→CAb=0, suy ra cosB−2cosC.cosA=0cosB−2cosC.cosA=0.
Tương tự ta có cosC−2cosA.cosB=0;cosC−2cosA.cosB=0;cosA−2cosB.cosC=0cosA−2cosB.cosC=0.
Rút cosBcosB từ đẳng thức đầu và thay vào đẳng thức thứ hai, ta có cosC−4cos2A.cosC=0cosC−4cos2A.cosC=0 mà cosC≠0cosC≠0 ( vì nếu cosC=0cosC=0 thì cosB=0cosB=0, ˆB=ˆC=900ˆB=ˆC=900, vô lí) nên cos2A=14cos2A=14 hay cosA=±12cosA=±12. Vậy ˆA=600ˆA=600, hoặc ˆA=1200ˆA=1200.
Tương tự như vậy, góc CC hoặc bằng 600600 hoặc bằng 12001200. Vì tổng ba góc của tam giác bằng 18001800, nên chỉ có thể có ˆA=ˆB=ˆC=600ˆA=ˆB=ˆC=600. Vậy ABCABC là tam giác đều.