Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=c, BC=a, CA=b.\) Đặt
\(\overrightarrow u = (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} )\overrightarrow {CA} + (\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} )\overrightarrow {AB}\)\( + (\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} )\overrightarrow {BC} .\)
Chứng minh rằng
a) \(\overrightarrow u = - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right);\)
b) Nếu ABC là tam giác đều thì \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \);
c) Nếu \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \) thì ABC là tam giác đều.
Giải
a) Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow u = ca.\cos ({180^0} - B).\overrightarrow {CA} + ab.\cos ({180^0} - C).\overrightarrow {AB} + bc.\cos ({180^0} - A).\overrightarrow {BC} \\ = - ca.\cos B.\overrightarrow {CA} - ab.\cos C.\overrightarrow {AB} - bc.\cos A.\overrightarrow {BC} \\ = - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right).\end{array}\)
b) Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(a=b=c,\) \(\cos A=\cos B=\cos C,\) từ đó suy ra \(\overrightarrow u = - {a^2}.\cos A.(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} )\)\( = \overrightarrow 0 .\)
c) Nhân vô hướng vec tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \) lần lượt với \(\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} , \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} , \dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}\), ta có:\(\overrightarrow u .\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} = 0\), suy ra \(\cos B - 2\cos C.\cos A = 0\).
Tương tự ta có \(\cos C - 2\cos A.\cos B = 0 ;\)\( \cos A - 2\cos B.\cos C = 0\).
Rút \(\cos B\) từ đẳng thức đầu và thay vào đẳng thức thứ hai, ta có \(\cos C - 4{\cos ^2}A.\cos C = 0\) mà \(\cos C \ne 0\) ( vì nếu \(\cos C = 0\) thì \(\cos B = 0\), \(\widehat B = \widehat C = {90^0}\), vô lí) nên \({\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\) hay \(\cos A = \pm \dfrac{1}{2}\). Vậy \(\widehat A = {60^0}\), hoặc \(\widehat A = {120^0}\).
Tương tự như vậy, góc \(C\) hoặc bằng \(60^0\) hoặc bằng \(120^0\). Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^0\), nên chỉ có thể có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\). Vậy \(ABC\) là tam giác đều.