Bài 23 trang 41 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Cho hình vuông $ABCD$, điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = \dfrac{{AC}}{4}$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $DC$. Chứng minh rằng $BMN$ là tam giác vuông cân.

Giải

Đặt $\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow a  ,  \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b .$ Khi đó, ta có

$\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ),$

$\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}.$

Từ đó suy ra

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow b  - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\ = \dfrac{1}{4}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ).\\\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{4}(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b ).\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}\\  = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b )(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\= \dfrac{1}{{16}}\left( { - 3\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  + 8\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 0.\\{\overrightarrow {MB} ^2} = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{{16}}({\overrightarrow a ^2} + 9{\overrightarrow b ^2} - 6\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\\{\overrightarrow {MN} ^2} = \dfrac{1}{{16}}{\left( {3\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\\ = \dfrac{1}{{16}}\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\end{array}$

Vậy $MB \bot MN$ và $MB=MN$, tam giác $BMN$ vuông cân tại đỉnh $M.$