Bài 26 trang 104 SBT Hình 10 nâng cao: Cách 1:...

Cho tam giác $ABC$ với $A=(-1 ; 0), B=(2 ; 3), C=(3 ; -6)$ và đường thẳng $\Delta : x - 2y - 3 = 0$.

a) Xét xem đường thẳng $\Delta$ cắt cạnh nào của tam giác.

b) Tìm điểm M trên $\Delta$ sao cho $|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |$ nhỏ nhất.

a)  Thay lần lượt tọa độ của $A, B, C$ vào vế trái phương trình của $\Delta$, ta được:

$- 1 - 3 =  - 4 ;$ $2 - 2.3 - 3 =  - 7 ;$ $3 - 2.( - 6) - 3 = 12$.

Vậy $A, B$ nằm về một  phía của $\Delta$, còn $C$ nằm về phía kia. Do đó $\Delta$ cắt hai cạnh $AC$ và $BC$ của tam giác $ABC.$

b) Cách 1:

Xét $M(2y+3 ; y) \in \Delta$ thì $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}$ $= ( - 6y - 5 ;  - 3y - 3)$.

Khi đó

$|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |$

$= \sqrt {{{(6y + 5)}^2} + {{(3y + 3)}^2}}$

$= \sqrt {45{y^2} + 78y + 34}$.

$|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |$ nhỏ nhất  $\Leftrightarrow   45{y^2} + 78y + 34$ nhỏ nhất $y =  -  \dfrac{{13}}{{15}}$.

Từ đó ta tìm được $M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ;  -  \dfrac{{13}}{{15}}} \right)$.

Cách 2: 

Do $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$ ($G$ là trọng tâm tam giác $ABC$) nên $|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow    |\overrightarrow {MG} |$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow   M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên $\Delta$. Ta tìm được $M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ;  -  \dfrac{{13}}{{15}}} \right)$.