Cho tam giác \(ABC\) với \(A=(-1 ; 0), B=(2 ; 3), C=(3 ; -6)\) và đường thẳng \(\Delta : x - 2y - 3 = 0\).
a) Xét xem đường thẳng \(\Delta \) cắt cạnh nào của tam giác.
b) Tìm điểm M trên \(\Delta \) sao cho \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất.
a) Thay lần lượt tọa độ của \(A, B, C\) vào vế trái phương trình của \(\Delta \), ta được:
\( - 1 - 3 = - 4 ;\) \( 2 - 2.3 - 3 = - 7 ;\) \( 3 - 2.( - 6) - 3 = 12\).
Vậy \(A, B\) nằm về một phía của \(\Delta \), còn \(C\) nằm về phía kia. Do đó \(\Delta \) cắt hai cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC.\)
b) Cách 1:
Xét \(M(2y+3 ; y) \in \Delta \) thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}\) \( = ( - 6y - 5 ; - 3y - 3)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Khi đó
\(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\)
\( = \sqrt {{{(6y + 5)}^2} + {{(3y + 3)}^2}}\)
\( = \sqrt {45{y^2} + 78y + 34} \).
\(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 45{y^2} + 78y + 34\) nhỏ nhất \(y = - \dfrac{{13}}{{15}}\).
Từ đó ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ; - \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\).
Cách 2:
Do \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)) nên \(|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow |\overrightarrow {MG} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \). Ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ; - \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\).