Bài 25 trang 42 SBT Hình 10 nâng cao: (h.35)....

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và một điểm $M$ sao cho các góc $AMB, BMC, CMA$ đều bằng $120^0$. Các đường thẳng $AM, BM, CM$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $A’, B’, C’$. Chứng minh rằng:

$MA+MB+MC$$=MA’+MB’+MC’.$

Giải

(h.35).

Lấy các điểm $A_1, B_1, C_1$ sao cho $\overrightarrow {M{A_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}};$  $\overrightarrow {M{B_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}};$ $\overrightarrow {M{C_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MC} }}{{MC}}$, khi đó cả ba vec tơ trên đều có độ  dài bằng 1, mà góc giữa hai vectơ bất kì trong chúng đều bằng $120^0$ nên $M$ là tâm của tam giác đều $A_1 B_1 C_1$.

Theo bài 24, ta có

$2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MO}$

$= MA(MA - MA’)$, suy ra $2\dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}}.\overrightarrow {MO}$

$= MA - MA’$,

hay $2\overrightarrow {M{A_1}} .\overrightarrow {MO}  = MA - MA’$.

Tương tự

$2\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {MO}  = MB - MB’,$  $2\overrightarrow {M{C_1}} .\overrightarrow {MO}  = MC - MC’.$

Từ đó ta có

$MA + MB + MC$$- MA’ - MB’ - MC’$

$= 2(\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{C_1}} ).\overrightarrow {MO}  = 0$

Hay

$MA + MB + MC$$= MA’ + MB’ + MC’$