Cho tam giác ABC không vuông.
a) Gọi AA′ là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh (tanB)→A′B+(tanC)→A′C=→0
b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh
(tanA)→HA+(tanB)→HB+(tanC)→HC=→0.
a) Xét trường hợp điểm A′ nằm trên cạnh BC, tức là các góc B và C đều nhọn (h.36a).
Khi đó
AA′=A′B.tanB=A′C.tanC.
Vì tanB>0,tanC>0 và hai vec tơ →A′B;→A′C ngược hướng nên ta suy ra
(tanB)→A′B+(tanC)→A′C=→0(∗)
Nếu điểm A′ nằm ngoài cạnh BC, chẳng hạn điểm C nằm giữa hai điểm B và A′ (h.36b), thì khi đó góc B nhọn và góc C tù, tức là tanB>0 và tanC<0.
Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
AA′=A′BtanB
=A′Ctan(1800−C)
=−A′CtanC.
Trong trường hợp này hai vec tơ →A′B;→A′C cùng hướng nên ta có : (tanB)→A′B+(tanC)→A′C=→0.
b) Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì ta có các số α,β,γ không đồng thời bằng 0 sao cho :α→HA+β→HB+γ→HC=→0 (theo bài 14 chương I). Vì AH⊥BC nên nhân hai vế của đẳng thức trên với →BC ta được β→HB.→BC+γ→HC.→BC=→0 và do đó ta có ( theo công thức hình chiếu):
β→A′B.→BC+γ→A′C.→BC=→0⇔→BC(β→A′B+γ→A′C)=→0⇔β→A′B+γ→A′C=→0
(vì vec tơβ→A′B+γ→A′C cùng phương với →BC).
So sánh đẳng thức này với (*) ta suy ra βtanB=γtanC. Bằng cách tương tự ta đi đến:
αtanA=βtanB=γtanC.
Bởi vậy đẳng thức α→HA+β→HB+γ→HC=→0 trở thành
tanA.→HA+tanB.→HB+tanC.→HC=→0.