Cho n điểm A1,A2,…,An và n số k1,k2,…,kn với k1+k2+...+kn=k(k≠0).
a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G sao cho
k1→GA1+k2→GA2+...+kn→GAn=→0.
b) Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: k1MA21+k2MA22+...+knMA2n=m, trong đó m là một số không đổi.
Giải
a) Lấy một điểm O bất kì thì đẳng thức
k1→GA1+k2→GA2+...+kn→GAn=→0 (1)
tương đương với
k1(→OA1−→OG)+k2(→OA2−→OG) +…+kn(→OAn−→OG)=→0
Hay →OG=1k(→OA1+→OA2+...+→OAn).
Điều đó chứng tỏ rằng có điểm G thỏa mãn (1).
Giả sử điểm G’ củng thỏa mãn k1→G′A1+k2→G′A2+...+kn→G′An=→0 (2)
Bằng cách trừ theo vế (1) cho (2) ta được k.→GG′=→0, suy ra →GG′=→0 hay G′ trùng với G. (Điểm G được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1,A2,…An} gắn với các hệ số k1,k2…kn).
b) Với mọi điểm M, ta có
k1MA21+k2MA22+...+knMA2n=m⇔k1→MA12+k2→MA22+...+kn→MAn2=m⇔k1(→GA1−→GM)2+k2(→GA2−→GM)2+...+kn(→GAn−→GM)2=m⇔k1GA21+k2GA22+...+knGA2n+kGM2−2→GM(k1→GA1+k2→GA2+...+kn→GAn)=m.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta đặt
k1GA21+k2GA22+...+knGA2n=s thì đẳng thức trên tương đương với s+kGM2=m hay GM2=m−sk. Từ đó suy ra
Nếu m−sk>0 thì quỹ tích các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính r=√m−sk.
Nếu m−s=0 thì quỹ tích các điểm M là một điểm G.
Nếu m−sk>0thì quỹ tích các điểm M là tập rỗng.
Chú ý: Khi k1+k2+...+kn=k=0 thì hệ điểm {A1,A2,…An} không có tâm tỉ cự, song vec tơ →u=k1→OA1+k2→OA2+...+kn→OAn không phụ thuộc vào việc chọn điểm O. Thực vậy, với điểm O′ khác điểm O, ta có
k1→O′A1+k2→O′A2+..+kn→O′An=(k1+k2+...+kn)→O′O+k1→OA1+k2→OA2+...+kn→OAn=→u
Bây giờ chọn một điểm O nào đó, ta có
k1MA21+k2MA22+...+knMA2n=m⇔k1→MA12+k2→MA22+...+kn→MAn2=m⇔k1(→OA1−→OM)2+k2(→OA2−→OM)2+...+kn(→OAn−→OM)2=m⇔k1OA21+k2OA22+...+knOA2n−2→OM.→u=m.
Đặt k1OA21+k2OA22+...+knOA2n=s thì đẳng thức trên trở thành :2→u.→OM=s−m.
Bởi vậy:
Nếu →u=→0 và s=m thì quỹ tích các điểm M là toàn bộ mặt phẳng.
Nếu →u=→0 và s≠m thì quỹ tich các điểm M là tập rỗng.
Nếu →u≠→0 thì quỹ tích các điểm M là một đường thẳng vuông góc với vec tơ →u.