Cho điểm O bất kì nằm trong tam giác A1A2A3. Gọi B_1, B_2, B_3 lần lượt là hình chiếu của O trên A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1. Đặt
\begin{array}{l}\overrightarrow {{a_1}} = {A_1}{A_2}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_1}} }}{{O{B_1}}} ,\\\overrightarrow {{a_2}} = {A_2}{A_3}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_2}} }}{{O{B_2}}} ,\\\overrightarrow {{a_3}} = {A_3}{A_1}\dfrac{{\overrightarrow {O{B_3}} }}{{O{B_3}}} .\end{array}
Chứng minh rằng \overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} = \overrightarrow 0 .
Chú ý: kết quả trên đúng với đa giác A_1A_2…A_n bất kì (định lí Con Nhím). Trên hình 23, |\overrightarrow {{a_k}} | = {A_k}{A_{k + 1}} ( xem {A_{n + 1}} \equiv {A_1}), \overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + ... + \overrightarrow {{a_n}} = \overrightarrow 0 (các vec tơ \overrightarrow {{a_k}} được gọi là các “ lông nhím”).
Giải
(h.37).
Ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\ = \left( {\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \\= \left( {\overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right)\left( {\overrightarrow {{A_1}{A_3}} - \overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right)\\= \overrightarrow {{a_2}} .\overrightarrow {{A_1}{A_3}} - \overrightarrow {{a_3}} .\overrightarrow {{A_2}{A_3}} \\= |\overrightarrow {{a_2}} |{A_1}{A_3}.\cos \left( {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right) \\- |\overrightarrow {{a_3}} |.{A_2}{A_3}.\cos \left( {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right).\\\end{array}
Theo giả thiết |\overrightarrow {{a_2}} | = {A_2}{A_3} , |\overrightarrow {{a_3}} | = {A_1}{A_3}.
Ngoài ra dễ thấy \cos \left( {\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{A_1}{A_3}} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{a_3}} ,\overrightarrow {{A_2}{A_3}} } \right).
Suy ra \left( {\overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} } \right).\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = 0. Do đó, vec tơ \overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} vuông góc với đường thẳng A_1A_2.
Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có vec tơ \overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} vuông góc với đường thẳng A_2A_3.
Vậy \overrightarrow {{a_1}} + \overrightarrow {{a_2}} + \overrightarrow {{a_3}} = 0.