Cho hai đường tròn không đồng tâm (O;R) và (O′;R′). Tìm tập hợp các điểm M sao cho ℘M/(O;R)=℘M/(O′;R′).
Giải
\begin{array}{l}{\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O’ ; R’)}}\\ \Leftrightarrow M{O^2} - {R^2} = MO{‘^2} - R{‘^2}\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {MO’} ^2} = {R^2} - R{‘^2}\\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {MO’} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {MO’} } \right)\\ = {R^2} - R{‘^2}\end{array}
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {O’O} .\overrightarrow {MI} = {R^2} - R{‘^2}, trong đó I là trung điểm của OO’.
Lấy H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng OO’, ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\overrightarrow {O’O} .\overrightarrow {MI} = \overrightarrow {O’O} .\overrightarrow {HI} = \overrightarrow {OO’} .\overrightarrow {IH} .
Từ đó suy ra \overline {IH} = \dfrac{{{R^2} - R{‘^2}}}{{2\overline {OO’} }} không đổi nên H là điểm cố định.
Vậy {\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O’ ; R’)}} khi và chỉ khi thuộc đường thẳng \Delta vuông góc với đường thẳng OO’ tại điểm cố định H.
Đường thẳng \Delta được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đã cho.