Bài 32 trang 43 SBT Hình 10 nâng cao: (h.38)....

Trong đường tròn $C(O ; R)$ cho hai dây cung $AA’, BB’$ vuông góc với nhau ở điểm $S$ và gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng $SM \bot A’B’$.

Giải

(h.38).

Xét tích vô hướng

$\begin{array}{l}\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {A’B’}\\  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right)\left( {\overrightarrow {SB’}  - \overrightarrow {SA’} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB’}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SA’}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB’}  - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA’} } \right).\end{array}$

Ta có

$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB’}  = 0$ do $SA \bot SB’$,

$\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA’}  = 0$ do $SB \bot SA’$,

$\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SA’}  = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB’}$.

Từ đó suy ra $\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {A’B’}  = 0$, nên $SM \bot A’B’$.