Bài 34 trang 43 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ và $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$^(*) của tam giác. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đó đi qua trung điểm của cạnh $BC.$

Giải

Đặt tên các tiếp điểm của hai đường tròn như hình 40.

Ta có $AR=AS$ và

$AR+AS=(AB+BR)+(AC+CS)$

$=(AB+BH)+(AC+CH)$

$=AB+BC+AC=2p.$

Vậy $AR=AS=p,$ suy ra $c+BH=p$ hay $BH=p-c.$

Ta cũng có $AP=AQ, BP=BK, CK=CQ$ nên $c+CK=b+BK.$

Do $(c+CK)+(b+BK)$$=a+b+c=2p$ nên $c+CK=p$ hay $CK=p-c=BH.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ từ $BH=CK$ suy ra $MH=MK$ hay ${P_{M/(I)}} = M{K^2} = M{H^2} = {P_{M/(J)}}.$

Vậy $M$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn $(I)$ và $(J)$.