Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng Δ vuông góc với AB ở H (H không trùng với A và B). Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M,N và các đường thẳng AM,AN lần lượt cắt Δ ở M′,N′.
a) Chứng minh rằng bốn điểm M,N,M′,N′ cùng thuộc một đường tròn (C) nào đó.
b) Chứng minh rằng các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định.
Giải
(h.42).
a) Tứ giác HBMM′ nội tiếp được do ^M′HB=^M′MB=900, suy ra →AH.→AB=→AM.→AM′.
Tứ giác HBN′N cũng nội tiếp được do ^N′HB=^N′NB=900, suy ra →AH.→AB=→AN.→AN′.
Advertisements (Quảng cáo)
Từ đó ta có →AM.→AM′=→AN.→AN′
Suy ra M,N,M′,N′ cùng thuộc một đường tròn, ta kí hiệu đường tròn đó là (C).
b) Gọi P,Q là các giao điểm của (C) với đường thẳng AB và E,F là các giao điểm của Δ với đường tròn đường kính AB.
Khi đó
→HE.→HF=→HM.→HN=→HP.→HQ nên E,P,F,Q cùng thuộc đường tròn (S). Đường tròn này tiếp xúc với AE,AF lần lượt tại E,F và do AE,AF đối xứng qua AB nên (S) cố định, suy ra P,Q là hai điểm cố định.
Vậy P,Q thuộc đường tròn (S) tiếp xúc với AE,AF ở E,F.
Do (S) là đường tròn cố định nên P,Q là hai điểm cố định của (C).