Bài 35 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.41)....

Cho điểm $M$ nằm trong góc $\widehat {xOy}$ và gọi $M_1, M_2$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $Ox, Oy.$

a) Vẽ đường tròn $(C)$ qua $M_1, M_2$, đường tròn này cắt hai cạnh $Ox, Oy$ lần lượt ở $N_1, N_2$. Kẻ đường thẳng vuông góc với $Ox$ ở $N_1$ và đường thẳng vuông góc với $Oy$ ở $N_2$, giả sử hai đường thẳng đó cắt nhau ở $N$. Chứng minh $ON \bot {M_1}{M_2}$.

b) Chứng minh rằng khi $(C)$ thay đổi nhưng vẫn đi qua $M_1$ và $M_2$ thì điểm $N$ luôn thuộc một tia $Oz$ cố định và $\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}$.

Giải

(h.41).

a) Ta có $\overrightarrow {O{M_1}} .\overrightarrow {O{N_1}}  = \overrightarrow {O{M_2}} .\overrightarrow {O{N_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$

Xét tích vô hướng

$\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \overrightarrow {ON} .\left( {\overrightarrow {O{M_2}}  - \overrightarrow {O{M_1}} } \right)$

$= \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}}  - \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}} .$

Do $\overrightarrow {O{N_1}}$ là hình chiếu của $\overrightarrow {ON}$ trên Ox nên $\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}}  = \overrightarrow {O{N_1}} .\overrightarrow {O{M_1}} .$

Tương tự $\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}}  = \overrightarrow {O{N_2}} .\overrightarrow {O{M_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)$

Từ (*), (**) suy ra $\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0$ hay $ON \bot {M_1}{M_2}$.

b) Theo câu a), $N$ thuộc tia $Oz$ cố định (vuông góc với $M_1M_2$).

Lại có $\widehat {zOy} = \widehat {{M_1}{M_2}M}$ (do $Oz \bot {M_2}{M_1}\\,\,Oy \bot {M_2}M$).

Mặt khác, $OM_1MM_2$ là tứ giác nội tiếp  ($\widehat {O{M_1}M} = \widehat {O{M_2}M} = {90^0}$) nên $\widehat {{M_1}{M_2}M} = \widehat {{M_1}OM}$. Từ đó suy ra $\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}$.