Advertisements (Quảng cáo)
Cho điểm \(M\) nằm trong góc \(\widehat {xOy}\) và gọi \(M_1, M_2\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(Ox, Oy.\)
a) Vẽ đường tròn \((C)\) qua \(M_1, M_2\), đường tròn này cắt hai cạnh \(Ox, Oy\) lần lượt ở \(N_1, N_2\). Kẻ đường thẳng vuông góc với \(Ox\) ở \(N_1\) và đường thẳng vuông góc với \(Oy\) ở \(N_2\), giả sử hai đường thẳng đó cắt nhau ở \(N\). Chứng minh \(ON \bot {M_1}{M_2}\).
b) Chứng minh rằng khi \((C)\) thay đổi nhưng vẫn đi qua \(M_1\) và \(M_2\) thì điểm \(N\) luôn thuộc một tia \(Oz\) cố định và \(\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}\).
Giải
(h.41).
a) Ta có \(\overrightarrow {O{M_1}} .\overrightarrow {O{N_1}} = \overrightarrow {O{M_2}} .\overrightarrow {O{N_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)
Xét tích vô hướng
\(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow {ON} .\left( {\overrightarrow {O{M_2}} – \overrightarrow {O{M_1}} } \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}} – \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}} .\)
Do \(\overrightarrow {O{N_1}} \) là hình chiếu của \(\overrightarrow {ON} \) trên Ox nên \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}} = \overrightarrow {O{N_1}} .\overrightarrow {O{M_1}} .\)
Tương tự \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {O{N_2}} .\overrightarrow {O{M_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)\)
Từ (*), (**) suy ra \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\) hay \(ON \bot {M_1}{M_2}\).
b) Theo câu a), \(N\) thuộc tia \(Oz\) cố định (vuông góc với \(M_1M_2\)).
Lại có \(\widehat {zOy} = \widehat {{M_1}{M_2}M}\) (do \(Oz \bot {M_2}{M_1}\\,\,Oy \bot {M_2}M\)).
Mặt khác, \(OM_1MM_2\) là tứ giác nội tiếp (\(\widehat {O{M_1}M} = \widehat {O{M_2}M} = {90^0}\)) nên \(\widehat {{M_1}{M_2}M} = \widehat {{M_1}OM}\). Từ đó suy ra \(\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}\).