Bài 39 trang 44 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.45)....

Cho hai điểm $P, Q$ nằm ngoài đường tròn $(I)$ cố định với $IP \ne IQ$.

a) Vẽ đường tròn $(C)$ bất kì đi qua $P, Q$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của $(C)$ và $(I)$ đi qua một điểm cố định.

b) Hãy nêu cách vẽ đường tròn đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với đường tròn $(I)$.

Giải

a) (h.45).

Gọi $(C_1)$ là đường tròn cố định có tâm $O$ và đi qua $P, Q.$ Do $I$ không thuộc đường trung trực của $PQ$ nên trục đẳng phương $\Delta$ của $(C_1)$ và $(I)$ không song song với $PQ$, chúng phải cắt nhau ở $J$.

Bây giờ giả sử $(C)$ là đường tròn bất kì đi qua $P$ và $Q$, ta có $J$ thuộc trục đẳng phương $PQ$ của $(C)$ và $(C_1)$ nên ${P_{J/(C)}} = {P_{J/({C_1})}}$.

Lại có $J$ thuộc trục đẳng phương của $(C_1)$ và $(I)$ nên ${P_{J/({C_1})}} = {P_{J/(I)}}$.

Từ đó ta có ${P_{J/(C)}} = {P_{J/(I)}}$, hay $J$ thuộc trục đẳng phương của $(C)$ và $(I).$

b) (h.46).

Kẻ tiếp tuyến $JM$ với $(I)$ ($M$ là tiếp điểm), ta có $J{M^2} = {P_{J/(I)}}.$

Do ${P_{J/(I)}} = \overrightarrow {JP} .\overrightarrow {JQ}$ nên đường tròn $(MPQ)$ tiếp xúc với $JM$ ở $M$ và cũng tiếp xúc với $(I)$ ở $M$. Từ đó suy ra cách dựng. Bài toán có hai nghiệm.