Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R), có đường cao AA’. Gọi E, F tương ứng là hình chiếu của A’ trên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD.
a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến của đường tròn (A’JD).
b) Tìm điều kiện của AA’ để ba điểm E, F, O thẳng hàng.
Giải
(h.48).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Trong hai tam giác vuông AA’B và AA’C ta có \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = AA{‘^2} và \overrightarrow {AF} .\overrightarrow {AC} = AA{‘^2} nên \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AF} .\overrightarrow {AC} , suy ra tứ giác BEFC nội tiếp được, do đó ta có\widehat {AFE} = \widehat {ABC}.
Mặt khác \widehat {ABC} = \widehat {ADC} ( góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên tứ giác DCFJ nội tiếp được, suy ra \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AF} .\overrightarrow {AC} . Vậy \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AD} = AA{‘^2} do đó AA’ là tiếp tuyến của đường tròn (A’JD).
b) Ba điểm E, F, O thẳng hàng khi O trùng với J hay AJ=R.
Do \overrightarrow {AJ} .\overrightarrow {AD} = AA{‘^2} nên AJ=R nếu AA’^2=2R^2 hay AA’ = R\sqrt 2 .