Bài 50 trang 108 SBT Hình 10 nâng cao: Từ (1) và (2) suy ra:...

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm $A(-1 ; 0),$ $B(1 ; 2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x - y - 1 = 0$.

Gọi $I(a ;b)$ và $R$ là tâm và bán kính của đường $(C)$ cần tìm. Phương trình của $(C)$ là ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}$.

$(C)$ tiếp xúc với $\Delta :  x - y - 1 = 0$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}d(I; \Delta ) = R \Leftrightarrow     \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B  \in  (C) \\  \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\\{(1 - a)^2} + {(2 - b)^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}{(a + 1)^2} + {b^2} =  \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} =  \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra:

${(a + 1)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2}$

$\Leftrightarrow   a = 1 - b$.

Thay $a=1-b$ vào (2), ta có:

${b^2} + {(b - 2)^2} = 2{b^2}$

$\Rightarrow   b = 1    \Rightarrow   a = 0, R = \sqrt 2$.

Phương trình của $(C): {x^2} + {(y - 1)^2} = 2$.