Bài 66 trang 48 SBT Hình 10 nâng cao: (h.59)....

Cho điểm $M$ cố định trên đường tròn $(O ; R)$ và hai điểm $N, P$ chạy trên đường tròn đó sao cho $\widehat {NMP} = {30^0}$.

a) Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $NP.$

b) Xác định vị trí của $N, P$ để diện tích tam giác $MNP$ đạt giá trị lớn nhất.

Giải

(h.59).

a) Ta có $NP = 2R\sin {30^0} = R,$

$O{I^2} = O{N^2} - N{I^2}$

$= {R^2} - \dfrac{{{R^2}}}{4} = \dfrac{{3{R^2}}}{4}$.

Suy ra $OI = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$ không đổi, do đó $I$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Đảo lại, với mỗi điểm $I$ trên đường tròn đó ta kẻ dây cung $NP$ của $(O)$ vuông góc với $OI$ thì $NP=2NI=R.$

Ta có $\sin \widehat {NMP} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2}$. Góc $NMP$ có thể bằng $30^0$ hoặc bằng $150^0$. Dễ thấy $\widehat {NMP} = {30^0}$ khi và chỉ khi $O, M$ ở về một phía của $NP$ hay $I$ nằm trên cung lớn $\stackrel\frown {EF}$ của đường tròn $\left( {O ; \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)$ ($E, F$ là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn $\left( {O ; \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)$ ).

Vậy quỹ tích của $I$ là cung lớn $\stackrel\frown {EF}$.

b) Diện tích tam giác MNP là $S = \dfrac{1}{2}MN.MP.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^0} = \dfrac{1}{4}MN.MP$. Theo bất đẳng thức Cô-si, $MN.MP  \le \dfrac{{M{N^2} + M{P^2}}}{2}$, mà $M{N^2} + M{P^2} = 2M{I^2} + \dfrac{{{R^2}}}{2}$ nên $S \le \dfrac{1}{4}\left( {M{I^2} + \dfrac{{{R^2}}}{4}} \right)$.  (*)

Ta có $MI$ lớn nhất khi $M, O, I$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa $M, I$. Khi đó ta cũng có $MN=MP$ nên (*) xảy ra dấu “=”. Vậy $S$ lớn nhất khi và chỉ khi $MI$ lớn nhất hay $M ,O, I$ thẳng hàng và $O$ nằm giữa $M, I.$