Kẻ các đường cao AA′,BB′,CC′ của tam giác nhọn ABC.
a) Chứng minh rằng B′C′=2RsinAcosA.
b) Lấy A1,A2 lần lượt là điểm đối xứng với A′ qua AB,AC. Chứng minh rằng chu vi tam giác A′B′C′ bằng độ dài đoạn thẳng A1A2.
c) Chứng minh hệ thức:
sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC
=2sinAsinBsinC.
Giải
(h.60).
a) Ta có
AB′=ABcosA=2RsinCcosA.
Trong tam giác AB′C′ có B′C′sinA=AB′sinC′.
Nhưng ^AC′B′=ˆC (do BC′B′C là tứ giác nội tiếp), suy ra B′C′sinA=AB′sinC.
Từ đó suy ra
B′C′=AB′sinAsinC′
=2RsinCcosAsinAsinC
=2RsinAcosA.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Ta có ^A1C′B=^BC′A′ (do A1,A′ đối xứng với nhau qua AB).
^BC′A′=^AC′B′ (do AC′A′C và BC′B′C cùng là tứ giác nội tiếp).
Suy ra ^A1C′B=^B′C′A. Vậy A1,C′,B′ thẳng hàng và A1C′=A′C′.
Tương tự cũng có C′,B′,A2 thẳng hàng và B′A2=B′A′.
Do đó, chu vi tam giác A′B′C′ bằng
A′C′+C′B′+B′A′
=A1C′+C′B′+B′A2=A1A2.
c) Do A1 và A′ đối xứng nhau qua AB nên AA1=AA′,^A1AB=^BAA′; A2 và A′ đối xứng nhau qua AC nên AA2=AA′,^A′AC=^CAA2. Do đó tam giác AA1A2là tam giác cân có góc ở đỉnh ^A1AA2=2ˆA. Kẻ AK vuông góc với A1A2, ta có
A1A2=2A1K
=2AA1sinA=2AA′sinA
=2ABsinBsinA
=4RsinCsinBsinA.
Mặt khác theo câu a), ta có
B′C′+B′A′+A′C′
=2RsinAcosA+2RsinCcosC+2RsinBcosB.
Từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh.