Bài 7 trang 101 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: (h.93)....

Cho điểm $A(-1 ; 3)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x-2y+2=0$. Dựng hình vuông $ABCD$ sao cho hai đỉnh $B, C$ nằm trên $\Delta$ và các tọa độ của đỉnh $C$ đều dương.

a) Tìm tọa độ các đỉnh $B, C, D.$

b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông $ABCD.$

(h.93).

a) Đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ có phương trình $2(x+1)+y-3=0$ hay $2x+y-1=0.$

Tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \matrix{  x - 2y + 2 = 0 \hfill \cr  2x + y - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.$.

Giải hệ này ta được $\left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr}  \right.$.

Vậy $B=(0 ; 1)$

$AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5$.

Tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ \matrix{  {x_C} - 2{y_C} + 2 = 0 \hfill \cr  \sqrt {x_C^2 + {{({y_C} - 1)}^2}}  = \sqrt 5  \hfill \cr}  \right.$.

Giải hệ này ta được $\left\{ \matrix{  {x_C} =  - 2 \hfill \cr  {y_C} = 0 \hfill \cr}  \right.$ hoặc $\left\{ \matrix{  {x_C} = 2 \hfill \cr  {y_C} = 2 \hfill \cr}  \right.$.

Nghiệm đầu bị loại do $y_C =0$. Vậy $C=(2 ; 2).$

Do $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}.$

Suy ra

$\left\{ \matrix{  {x_D} - 2 =  - 1 - 0 \hfill \cr  {y_D} - 2 = 3 - 1 \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_D} = 1 \hfill \cr  {y_D} = 4 \hfill \cr}  \right.$. 

Vậy $D=(1 ; 4).$

b) Chu vi hình vuông $ABCD$ bằng $4\sqrt 5$, diện tích bằng $5.$