Bài 70 trang 49 SBT Hình 10 nâng cao: (h.63)....

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $A’, B’, C’$ lần lượt là hình chiếu của $G$ trên các cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác. Hãy tính diện tích của tam giác $A’B’C’$ biết rằng tam giác $ABC$ có diện tích bằng $S$ và khoảng cách từ $G$ đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó bằng $d$, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $R.$

Giải

(h.63).

${S_{A’B’C’}} = {S_{GA’B’}} + {S_{GB’C’}} + {S_{GC’A’}}  ;$

${S_{GA’B’}} = \dfrac{1}{2}.GA’.GB’.\sin ({180^0} - \widehat C)$

$= \dfrac{1}{{18}}{h_a}{h_b}\sin C$.

Trong tam giác ABC, ${h_a} = \dfrac{{2S}}{a} ,  {h_b} = \dfrac{{2S}}{b} ,  \sin C = \dfrac{c}{{2R}}$

Từ đó ta có ${S_{GA’B’}} = \dfrac{{{S^2}.c}}{{9ab.R}} = \dfrac{{{S^2}.{c^2}}}{{9abc.R}}$.

Tương tự, ${S_{GB’C’}} = \dfrac{{{S^2}{a^2}}}{{9abc.R}} ;  {S_{GC’A’}} = \dfrac{{{S^2}{b^2}}}{{9abc.R}}$.

Suy ra ${S_{A’B’C’}} = \dfrac{{{S^2}}}{{9abc.R}}({a^2} + {b^2} + {c^2}).$

Ta lại có $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$ và ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 9({R^2} - {d^2})$ ( theo bài 64) nên ${S_{A’B’C’}} = \dfrac{{{R^2} - {d^2}}}{{4{R^2}}}.S$.