Bài 72 trang 49 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Cho từ giác $ABCD$ nội tiếp được và có các cạnh $a,b, c, d$. Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó được tính theo công thức sau:

$S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$,trong đó $p$ là nửa chu vi tứ giác.

Giải

Giả sử $ABCD$ là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh là $a, b, c, d$  (h.65).

Khi đó $\widehat A + \widehat C = {180^0}$ nên $\sin C= \sin A ;  \cos C= -\cos A.$

Ta có

$S = {S_{ABD}} + {S_{CDB}}$

$= \dfrac{1}{2}ad\sin A + \dfrac{1}{2}bc\sin C$

hay $2S = (ad + bc)\sin A$, suy ra $\sin A = \dfrac{{2S}}{{ad + bc}}$.

Mặt khác, tam giác ABD có $B{D^2} = {a^2} + {d^2} - 2ad\cos A$, còn tam giác CBD có $B{D^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos C$ $= {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A$.

Suy ra ${a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2} = 2(ad + bc)\cos A$ nên $\cos A = \dfrac{{{a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2(ad + bc)}}$.

Do ${\cos ^2}A + {\sin ^2}A = 1$ nên $16{S^2} + {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}$ $= 4{(ad + bc)^2}$.

Vậy $16{S^2} = {\left[ {2(ad + bc)} \right]^2} - {({a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})^2}$

$\begin{array}{l} = (2ad + 2bc + {a^2} + {d^2} - {b^2} - {c^2})(2ad + 2bc - {a^2} - {d^2} + {b^2} + {c^2})\\ = \left[ {{{(a + d)}^2} - {{(b - c)}^2}} \right].\left[ {{{(b + c)}^2} - {{(a - d)}^2}} \right]\\ = (a + d + b - c)(a + d - b + c)(b + c + a - d)(b + c - a + d)\\ = (2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)\\ = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d).\end{array}$

Từ đó ta có $S = \sqrt {(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$.