Bài 71 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao: (h.64)....

a) Chứng minh rằng nếu $\alpha$ là góc nhọn thì $\cos (\alpha  + {90^0}) =  - \sin \alpha$.

b) Cho tam giác nhọn $ABC$ có các cạnh $a, b, c$ và diện tích $S$. Trên ba cạnh và về phía ngoài của tam giác đó dựng các tam giác vuông cân $A’BC, B’AC, C’AB$ ($A’, B’, C’$ lần lượt là đỉnh). Chứng minh rằng:

$A’B’^2+B’C’^2+C’A’^2$ $=a^2+b^2+c^2+6S.$

Giải

(h.64).

a) Ta có

$\cos \left( {\alpha  + {{90}^0}} \right)$

$=  - \cos \left[ {{{180}^0} - (\alpha  + {{90}^0})} \right]$

$=  - \cos ({90^0} - \alpha ) =  - \sin \alpha$.

b) Dễ thấy $AB’ = \dfrac{{b\sqrt 2 }}{2} ;$$AC’ = \dfrac{{c\sqrt 2 }}{2}  ;$ $\widehat {B’AC’} = \widehat A + {90^0}$.

Trong tam giác $AB’C’$ ta có

$\begin{array}{l}B’C{‘^2} = AB{‘^2} + AC{‘^2} - 2AB’.AC’.\cos \widehat {B’AC’}\\ = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + bc\sin A\\= \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + 2S.\end{array}$

Tương tự, $C’A{‘^2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} + 2S  ;$ $A’B{‘^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + 2S$.

Từ đó suy ra $A’B{‘^2} + B’C{‘^2} + C’A{‘^2}$ $= {a^2} + {b^2} + {c^2} + 6S$.