Bài 75 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 6. Đường hypebol....

Lập phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ biết

a) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là $x =  \pm  \dfrac{1}{2} ,  y =  \pm 1$;

b) Một đỉnh là $(3 ; 0)$ và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là ${x^2} + {y^2} = 16$;

c) Một tiêu điểm là $(-10 ; 0)$ và phương trình các đường tiệm cận là $y =  \pm  \dfrac{{4x}}{3}$;

d) $(H)$ đi qua $N(6 ; 3)$ và góc giữa hai đường tiệm cận bằng $60^0$.

$(H)$ có phương trình chính tắc: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

a) $a =  \dfrac{1}{2} ,  b = 1   \Rightarrow$ phương trình của $(H)$ : $\dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$.

b) $(3; 0)$ là một đỉnh của $(H) \Rightarrow   a = 3$. Các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở với trục $Ox$ là các tiêu điểm của $(H)$. Vậy $c = 4 ,  {b^2} = {c^2} - {a^2} = 7$.

Phương trình của $(H):  \dfrac{{{x^2}}}{9} -  \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$.

c) $c=10$. Các tiệm cận có phương trình $y =  \pm  \dfrac{4}{3}x$, nên $\dfrac{b}{a} =  \dfrac{4}{3}$, suy ra $\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{{4^2} + {3^2}}}{3} =  \dfrac{{25}}{9}$   hay $\dfrac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{9}$. Vậy ${a^2} = 36,  {b^2} = 64$.

Phương trình của $(H): \dfrac{{{x^2}}}{{36}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1$.

d) Phương trìn các đường tiệm cận là $y =  \pm  \dfrac{b}{a}x$. Do góc giữa hai đường tiệm cận là 60⁰ và hai đường tiệm cận đối xứng với nhau qua Ox, nên có hai trường hợp:

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng 30⁰, suy ra $\dfrac{b}{a} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{30^0} =  \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$.   (1)

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng $60^0$, suy ra $\dfrac{b}{a} = \tan {60^0} = \sqrt 3$.   (2)

$N \in (H)   \Rightarrow     \dfrac{{36}}{{{a^2}}} -  \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1$          (3)

Từ (1) và (3) suy ra ${a^2} = 9,  {b^2} = 3$. Ta được hypebol $(H_1):  \dfrac{{{x^2}}}{9} -  \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1$.

Từ (2) và (3) suy ra ${a^2} = 33 ,  {b^2} = 99$. Ta được hypebol $(H_2):  \dfrac{{{x^2}}}{{33}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{99}} = 1$.