Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc \(A, B, C\) tương ứng bằng \(r_a, r_b, r_c\).
Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} – {r_b} – {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông.
Giải
Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p – a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p – b}} ; {r_c} = \dfrac{S}{{p – c}}\).
Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\).
Từ giả thiết suy ra:
\(\dfrac{1}{{p – a}} – \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p – b}} + \dfrac{1}{{p – c}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Rightarrow \dfrac{a}{{p(p – a)}} = \dfrac{{2p – (b + c)}}{{(p – b)(p – c)}}\).
Vì \(2p – (b + c) = a\), suy ra \(p(p – a) = (p – b)(p – c)\).
\(\begin{array}{l}pa = p(b + c) – bc \\\Rightarrow bc = p(b + c – a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c – a)\\\Rightarrow 2bc = {(b + c)^2} – {a^2}\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} – {a^2} = 0\\\Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\)
Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\).