Bài 75 trang 50 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Từ giả thiết suy ra:...

Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp bằng $r$ và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc $A, B, C$ tương ứng bằng $r_a, r_b, r_c$.

Chứng minh rằng nếu $r = {r_a} - {r_b} - {r_c}$ thì góc $A$ là góc vuông.

Giải

Từ bài 74 chương II, ta suy ra ${r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},$ tương tự ${r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ;  {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}$.

Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có $r = \dfrac{S}{p}$.

Từ giả thiết suy ra:

$\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}$

$\Rightarrow   \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}$.

Vì $2p - (b + c) = a$, suy ra $p(p - a) = (p - b)(p - c)$.

$\begin{array}{l}pa = p(b + c)  - bc  \\\Rightarrow   bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow   2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow   {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow  {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}$

Theo định lí Py-ta-go ta có $\widehat A = {90^0}$.