Câu 3.55 trang 67 SBT Đại số 10 Nâng cao: Cho hệ phương trình...

Cho hệ phương trình

$\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + by = c}\\{a’x + b’y = c’}\end{array}} \right.$ (ẩn là x và y) thỏa mãn điều kiện a’b’c’ ≠ 0.

Chứng minh rằng :

a. Nếu $\dfrac{a}{{a’}} \ne \dfrac{b}{{b’}}$ thì hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b. Nếu $\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} \ne \dfrac{c}{{c’}}$ thì hệ (I) vô nghiệm.

c. Nếu $\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} = \dfrac{c}{{c’}}$ thì hệ (I) có vô số nghiệm.

áp dụng. Tìm các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a + 1} \right)x + 3y = a}\\{x + \left( {a - 1} \right)y = 2}\end{array}} \right.$

Có vô số nghiệm.

Xét hệ phương trình (I) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + by = c}\\{a’x + b’y = c’}\end{array}} \right.$ (ẩn là x và y) với điều kiện a’b’c’ ≠ 0.

a. Nếu $\dfrac{a}{{a’}} \ne \dfrac{b}{{b’}}$ thì $D = ab’ - a’b \ne 0$ nên hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b. Nếu $\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} \ne \dfrac{c}{{c’}}$ thì $D = ab’ - a’b = 0$ và ${D_x} = cb’ - c’b \ne 0$ nên hệ (I) vô nghiệm.

c. Nếu $\dfrac{a}{{a’}} = \dfrac{b}{{b’}} = \dfrac{c}{{c’}}$ thì $D = 0$ và ${D_x} = cb’ - c’b = {D_y} = ac’ - a’c = 0$ nên hệ (I) có vô số nghiệm.

Chú ý. Kết quả trên vẫn đúng khi a = b = 0.

Áp dụng. Đối với hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{\rm{a}} + 1} \right)x + 3y = a}\\{x + \left( {{\rm{a}} - 1} \right)y = 2}\end{array},} \right.$ ta có

- Nếu a = 1 thì dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất.

- Nếu a ≠ 1 thì hệ có vô số nghiệm khi $\dfrac{{a + 1}}{1} = \dfrac{3}{{a - 1}} = \dfrac{a}{2}.$ Giải ra ta được a = -2.