Câu 4.17 trang 105 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1....

Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào :

a. $\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 4{\rm{a}}b;$

b. $\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 9{\rm{a}}bc.$

:

a. Với $a ≥ 0, b ≥ 0$ ta có

$a + b \ge 2\sqrt {ab}  \ge 0;ab + 1 \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b}  \ge 0.$

Từ đó suy ra $\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b} .2\sqrt {{\rm{a}}b}  = 4{\rm{a}}b.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

b. Với $a ≥ 0, b≥ 0, c ≥ 0$, ta có :

$\begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0\\ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \ge 0.\end{array}$

Từ đó suy ra

$\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}$

$= 9{\rm{a}}bc$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.