Advertisements (Quảng cáo)
Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào :
a. \(\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 4{\rm{a}}b;\)
b. \(\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 9{\rm{a}}bc.\)
:
a. Với \(a ≥ 0, b ≥ 0\) ta có
\(a + b \ge 2\sqrt {ab} \ge 0;ab + 1 \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b} \ge 0.\)
Từ đó suy ra \(\left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{\rm{a}}b + 1} \right) \ge 2\sqrt {{\rm{a}}b} .2\sqrt {{\rm{a}}b} = 4{\rm{a}}b.\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Advertisements (Quảng cáo)
b. Với \(a ≥ 0, b≥ 0, c ≥ 0\), ta có :
\(\begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}} \ge 0\\ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \ge 0.\end{array}\)
Từ đó suy ra
\(\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{a}}b + bc + ca} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
\(= 9{\rm{a}}bc\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).