Câu 4.60 trang 112 SBT Toán Đại 10 Nâng cao: Lập bảng xét dấu :...

các bất phương trình :

a. $\dfrac{{2{ {x}} - 5}}{{{x^2} - 6{ {x}} - 7}} < \dfrac{1}{{x - 3}}$

b. $\dfrac{{{x^2} - 5{ {x + 6}}}}{{{x^2} + 5{ {x}} + 6}} \ge \dfrac{{x + 1}}{x}$

c. $\dfrac{2}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} \ge \dfrac{{2{ {x}} - 1}}{{{x^3} + 1}}$

d. $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} \le 0.$

:

a. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :

$\begin{array}{l}\dfrac{{2{ {x}} - 5}}{{{x^2} - 6{ {x}} - 7}} - \dfrac{1}{{x - 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{ {x}} - 5} \right)\left( {{ {x}} - 3} \right) - \left( {{{ {x}}^2} - 6{ {x}} - 7} \right)}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 22}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right)}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Tam thức ${x^2} - 5{ {x}} + 22$ có $a = 1 > 0,$ $\Delta  =  - 63 < 0,$ nên $\,{x^2} - 5{ {x}} + { {22 > 0}}$ với mọi $x$. Suy ra (*) tương đương với $\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right) < 0.$

Lập bảng xét dấu :

Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :

$T = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3;7} \right)$

b. Bất phương trình được biến đổi tương đương thành :

$\dfrac{{11{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 6}}{{x\left( {{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 6} \right)}} \le 0.$

Suy ra tập nghiệm là : $S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 2;0} \right).$

c. Bất phương trình được biến đổi tương đương với :

$\dfrac{{\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{{ {x}}^2} - x + 1} \right)}} \ge 0.$

Suy ra tập nghiệm là : $S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;2} \right]$

d. Bất phương trình được biến đổi tương đương với :

$\dfrac{{{x^2} + { {x}} - 1}}{{\left( {{ {x}} - 1} \right)\left( {{ {x}} + { {1}}} \right)x}} \le 0.$

Suy ra tập nghiệm là : $S = \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right] \cup \left( { - 1;0} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};1} \right)$.