Câu 4.76 trang 115 SBT Đại số 10 Nâng cao: Bài 8. Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai...

Giải các phương trình sau :

a. $\sqrt {{ {x}} + 3 - 4\sqrt {{ {x}} - 1} }  + \sqrt {{ {x}} + 8 - 6\sqrt {{ {x}} - 1} }  = 1$

b. $\sqrt {{ {x}} + \sqrt {14{ {x}} - 49} }  + \sqrt {{ {x}} - \sqrt {14{ {x}} - 49} }  = \sqrt {14}$

c. $\left| {2\sqrt {2\left| x \right| - 1}  - 1} \right| = 3$

d. $\left| {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right| =  - \sqrt 2 \left( {2{{ {x}}^2} - 1} \right)$

:

a. $5 \le x \le 10.$

Hướng dẫn. Đưa phương trình về dạng :

$\left| {\sqrt {{ {x}} - 1}  - 2} \right| + \left| {\sqrt {{ {x}} - 1}  - 3} \right| = 1.$

b. $\dfrac{7}{2} \le x \le 7.$ Hướng dẫn. Phương trình được đưa về dạng :

$\left| {\sqrt {14{ {x}} - 49}  + 7} \right| + \left| {\sqrt {14{ {x}} - 49}  - 7} \right| = 14.$

c. $\left| x \right| = \dfrac{5}{2}.$

d. $x \in \left\{ { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\dfrac{1}{4}\left( {\sqrt 6  - \sqrt 2 } \right)} \right\}$.

Hướng dẫn. Nếu $x$ nghiệm đúng phương trình thì $- \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \le x \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ nên $\sqrt {1 - {x^2}}  \ge \left| x \right|,$ nghĩa là $x + \sqrt {1 - {x^2}}  \ge 0.$

Vậy ta có thể giả thiết $x \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ và phương trình trở thành :

$x + \sqrt {1 - {x^2}}  = \sqrt 2 \left( {1 - 2{{ {x}}^2}} \right).$

Mặt khác $1 - 2{{ {x}}^2} = \left( {\sqrt {1 - {x^2}}  + { {x}}} \right)\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - x} \right),$ nên ta có thể đưa phương trình đã cho về :

$\left( {{ {x}} + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {1 - {x^2}}  - x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 0.$