Câu 6.49 trang 205 SBT Toán Đại 10 Nâng cao:...

a) Tính $\sin \alpha ,cos\alpha$ theo $\tan \dfrac{\alpha }{2} = t$

b) Hãy tính $\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{1}{{\tan \alpha }} + 4\sin \alpha$ theo $\tan \dfrac{\alpha }{2} = t$.

a)

$\begin{array}{l}\sin \alpha  = 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}\\ = 2\tan \dfrac{\alpha }{2}{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\end{array}$ (giả sử $\cos \dfrac{\alpha }{2} \ne 0$)

$\begin{array}{l}\cos \alpha  = 2{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} - 1\\ = \dfrac{2}{{1 + {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}} - 1 = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\end{array}$ (giả sử $\cos \dfrac{\alpha }{2} \ne 0$)

b) Khi $\sin \alpha \cos \alpha  \ne 0$, ta có

$\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{1}{{\tan \alpha }} + 4\sin \alpha  = \dfrac{1}{{\sin \alpha }} + 4\sin \alpha$

Vậy khi $t = \tan \dfrac{\alpha }{2} \ne 0$ và ${t^2} \ne 1$, ta có

$\dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{1}{{\tan \alpha }} + 4\sin \alpha  = \dfrac{{{t^4} + 18{t^2} + 1}}{{2t\left( {1 + {t^2}} \right)}}$