Câu 1.3 trang 6 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao...

Giả sử trên khoảng J, hàm số $y = \sin x$ và hàm số $y = \cos x$ có dấu không đổi. Chứng minh:

a) Nếu trên J, hai hàm số đó cùng dấu thì hàm số này đồng biến khi và chỉ khi hàm số kia nghịch biến.

b) Nếu trên J, hai hàm số đó khác dấu thì hàm số đó hoặc cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến.

Giải

Kí hiệu một trong hai hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ là $y = f(x)$ và hàm số kia là $y = g(x)$. Theo giả thiết thì $f$ và $g$ giữ dấu không đổi trên J.

a) Do ${g^2} = 1 - {f^2}$, nên nếu ${f^2}$ đồng biến ( nghịch biến ) trên J thì ${g^2}$ nghịch biến; (đồng biến) trên J.

$-$ Nếu $f$ đồng biến trên J thì ${f^2}$ đồng biến từ đó ${g^2}$ nghịch biến; Vậy khi đó $g > 0$ thì $g$ nghịch biến, nếu $g < 0$ thì $g$ đồng biến.

$-$Nếu $f$ nghịch biến trên J thì ${f^2}$  nghịch biến từ đó ${g^2}$ đồng biến; Vậy khi đó $g > 0$ thì $g$ đồng biến, nếu $g < 0$ thì $g$ nghịch biến.

Xét tương tự trong trường hợp $f < 0$ trên J, ta thấy các khẳng định a), của bài toán đúng.

b) Chứng minh tương tự câu a)