Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho →MA=−2→MB,→ND=−2→NC. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho →IA=k→ID,→JM=k→JN,→KB=k→KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Cách 1.
Ta có:
→IJ=→IA+→AM+→MJ(1)→IJ=→ID+→DN+→NJ(2)
Từ (2) ta có:
k→IJ=k→ID+k→DN+k→NJhayk→IJ=→IA+k→DN+→MJ(3)
Từ (1), (3) ta có:
(1−k)→IJ=→AM−k→DNhay→IJ=11−k→AM−k1−k→DN
Chứng minh tương tự như trên, ta có:
→JK=11−k→MB−k1−k→NC
Mặt khác →MA=−2→MB,→ND=−2→NC
Advertisements (Quảng cáo)
nên →IJ=21−k→MB−2k1−k→NC.
Từ đó, ta có →IJ=2→IK
Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Cách 2.
Vì →MA=−2→MB
nên với điểm O bất kì thì →OM=→OA+2→OB3.
Tương tự
→ON=→OD+2→OC3;→OI=→OA−k→OD1−k;→OK=→OB−k→OC1−k;→OJ=→OM−k→ON1−k.
Từ đó, ta có:
→OJ=11−k.13(→OA+2→OB−k→OD−2k→OC)=11−k.13[(1−k)→OI+2(1−k)→OK]=13(→OI+2→OK)=13→OI+23→OK.
Mặt khác 13+23=1.
Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng.