Câu 2 trang 114 SBT Hình 11 nâng cao: Xác định m để các đường thẳng MN và BD’ song song với nhau...

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC’ sao cho $\overrightarrow {MC}  - m\overrightarrow {MA} ,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}}  = m\overrightarrow {NC’}$. Xác định m để các đường thẳng MN và BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết $\widehat {ABC} = \widehat {ABB’} = \widehat {CBB’} = {60^0}$ và BA = a, BB’ = b, BC = c.

Xác định m:

Đặt $\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {BB}  = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c$  thì $\overrightarrow {B{\rm{D}}’}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow {c.}$

Do $\overrightarrow {MC}  = m\overrightarrow {MA}$  nên  $\overrightarrow {BM}  = {{\overrightarrow {BC}  - m\overrightarrow {BA} } \over {1 - m}} = {{\overrightarrow c  - m\overrightarrow a } \over {1 - m}}$

Tương tự, ta có:

$\eqalign{  & \overrightarrow {BN}  = {{\overrightarrow {B{\rm{D}}}  - m\overrightarrow {BC’} } \over {1 - m}} = {{\overrightarrow a  + \overrightarrow c  - m\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)} \over {1 - m}}  \cr  &  = {1 \over {1 - m}}\overrightarrow a  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow b  + \overrightarrow c . \cr}$

Từ đó

$\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BN}  - \overrightarrow {BM}   \cr  &  = {{1 + m} \over {1 - m}}\overrightarrow a  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow b  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow c . \cr}$

Do AC, BD’ chéo nhau và DC’, BD’ chéo nhau nên

$\eqalign{  & MN//B{\rm{D}}’ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow {B{\rm{D}}’}   \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b  + k\overrightarrow c  \cr}$

Mặt khác $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng nên điều ấy xảy ra khi và chỉ khi:

$\eqalign{  & \left\{ \matrix{  {{1 + m} \over {1 - m}} = k \hfill \cr   - {m \over {1 - m}} = k \hfill \cr   - {m \over {1 - m}} = k \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow 1 + m =  - m \Leftrightarrow m =  - {1 \over 2} \cr}$

Từ đó, ta có $k = {1 \over 3}$

Vậy $m =  - {1 \over 2}$ thì MN // BD’.

Tính MN:

Khi ấy $\overrightarrow {MN}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$

do đó

${\overrightarrow {MN} ^2}$

hay $M{N^2} = {1 \over 9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc} \right)$

tức là $MN = {1 \over 3}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca}$