Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:...

Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là một dãy số giảm. . Bài 2. Dãy số

Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 2{n^3} – 5n + 1\)

b) Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = {3^n} – n\)

c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\)

a) Với mỗi \(n \in N^*,\) ta có

Quảng cáo

\(\eqalign{
 {a_{n + 1}} – {a_n} &= \left[ {2{{\left( {n + 1} \right)}^3} – 5\left( {n + 1} \right) + 1} \right] \cr&- \left( {2{n^3} – 5n + 1} \right) \cr
& = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^3} – {n^3}} \right] – 5\left( {n + 1 – n} \right) \cr
&  = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right).n + {n^2}} \right] – 5 \cr
& = 6{n^2} + 6n – 3\cr& = 3.\left( {{n^2} – 1} \right) + 3{n^2} + 6n > 0\,\left( {do\,\,n \ge 1} \right) \cr} \)

Vì thế, dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là một dãy số tăng.

b) Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là một dãy số tăng.

Xét hiệu \({b_{n + 1}} – {b_{n.}}\)

\(\eqalign{
& \left[ {{3^{n + 1}} – \left( {n + 1} \right)} \right] – \left[ {{3^n} – n} \right] \cr
& = {3^{n + 1}} – 1 – {3^n} \cr
& = {2.3^n} – 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \cr} \)

c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là một dãy số giảm. 

Xét hiệu \({c_{n + 1}} – {c_{n.}}\)

\({{n + 1} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} – {n \over {{n^2} + 1}} < 0\)

Quảng cáo