Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.23 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 3.23 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Bài 2. Dãy số...

Câu 3.23 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài 2. Dãy số

Cho dãy số \(({u_n}),\)với \({u_n} = \sin (2n – 1){\pi  \over 3}.\)

a) Chứng minh rằng \({u_n} = {u_{n + 3}}\)  với mọi \(n \ge 1.\)

b) Hãy tính tổng 17 số hàng đầu tiên của dãy số đã cho.

a) \({u_{n + 3}} = \sin \left[ {\left( {2\left( {n + 3} \right) – 1} \right){\pi  \over 3}} \right] \)

Quảng cáo

              \(= \sin \left[ {\left( {2n – 1} \right){\pi  \over 3} + 2\pi } \right]\)

              \(= \sin \left[ {\left( {2n – 1} \right){\pi  \over 3}} \right] = {u_n}\)

b) Từ kết quả của phần a), ta có

\(\eqalign{
& {u_1} = {u_4} = {u_7} = {u_{10}} = {u_{13}} = {u_{16}} \cr
& {u_2} = {u_5} = {u_8} = {u_{11}} = {u_{14}} = {u_{17}} \cr
& {u_3} = {u_6} = {u_9} = {u_{12}} = {u_{15}} \cr} \)

Từ đó, kí hiệu \({S_{17}}\) là tổng cần tính, ta có

\({S_{17}} = 5\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + {u_1} + {u_2}\)                          (1)

Bằng cách tình trực tiếp, ta có \({u_1} = {{\sqrt 3 } \over 2},{u_2} = 0\) và \({u_3} =  – {{\sqrt 3 } \over 2}.\) Do đó, từ (1) ta được

                                \({S_{17}} = 5\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} + 0 – {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

Quảng cáo