Câu 3.23 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Bài 2. Dãy số...

Cho dãy số $({u_n}),$với ${u_n} = \sin (2n - 1){\pi  \over 3}.$

a) Chứng minh rằng ${u_n} = {u_{n + 3}}$  với mọi $n \ge 1.$

b) Hãy tính tổng 17 số hàng đầu tiên của dãy số đã cho.

a) ${u_{n + 3}} = \sin \left[ {\left( {2\left( {n + 3} \right) - 1} \right){\pi  \over 3}} \right]$

              $= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right){\pi  \over 3} + 2\pi } \right]$

              $= \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right){\pi  \over 3}} \right] = {u_n}$

b) Từ kết quả của phần a), ta có

$\eqalign{ & {u_1} = {u_4} = {u_7} = {u_{10}} = {u_{13}} = {u_{16}} \cr & {u_2} = {u_5} = {u_8} = {u_{11}} = {u_{14}} = {u_{17}} \cr & {u_3} = {u_6} = {u_9} = {u_{12}} = {u_{15}} \cr}$

Từ đó, kí hiệu ${S_{17}}$ là tổng cần tính, ta có

${S_{17}} = 5\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3}} \right) + {u_1} + {u_2}$                          (1)

Bằng cách tình trực tiếp, ta có ${u_1} = {{\sqrt 3 } \over 2},{u_2} = 0$ và ${u_3} =  - {{\sqrt 3 } \over 2}.$ Do đó, từ (1) ta được

                                ${S_{17}} = 5\left( {{{\sqrt 3 } \over 2} + 0 - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) + {{\sqrt 3 } \over 2} + 0 = {{\sqrt 3 } \over 2}$