Câu 3.24 trang 89 SBT Đại số nâng cao lớp 11  ...

Cho dãy số $({v_n})$ xác định bởi

${v_1} = 1$ và ${v_{n + 1}} =  - {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1$ với mọi $n \ge 1.$

a) Hãy tính ${v_2},{v_3}$ và ${v_4}.$

b) Chứng minh rằng ${v_n} = {v_{n + 3}}$  với mọi $n \ge 1.$

a) Ta có 

$\eqalign{ & {v_2} = - {3 \over 2}v_1^2 + {5 \over 2}{v_1} + 1 = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr & {v_3} = - {3 \over 2}v_2^2 + {5 \over 2}{v_2} + 1\cr&\;\;\;\; = - {3 \over 2} \times {2^2} + {5 \over 2} \times 2 + 1 = 0 \cr & {v_4} = - {3 \over 2}v_3^2 + {5 \over 2}{v_3} + 1\cr&\;\;\;\;= - {3 \over 2} \times {0^2} + {5 \over 2} \times 0 + 1 = 1 \cr}$

b) Ta sẽ chứng minh ${v_n} = {v_{n + 3}}$ với mọi $n \ge 1,$ bằng phương pháp quy nạp.

Từ giả thiết của bài ra và kết quả cuẩ phần a) ta có ${v_1} = {v_4}.$ Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi $n = 1.$

Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi $n = k,k \in N^*,$ ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi $n = k + 1.$

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $({v_n})$ và giả thiết quy nạp ta có

${v_{k + 4}} =  - {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1$

         $=  - {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}$

Từ các chứng minh trên suy ra ta có ${v_n} = {v_{n + 3}}$ với mọi $n \ge 1.$