Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.24 trang 89 SBT Đại số nâng cao lớp 11  

Câu 3.24 trang 89 SBT Đại số nâng cao lớp 11  ...

Câu 3.24 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a) Hãy tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_4}.\). Bài 2. Dãy số

Cho dãy số \(({v_n})\) xác định bởi

\({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} =  – {3 \over 2}v_n^2 + {5 \over 2}{v_n} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Hãy tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_4}.\)

b) Chứng minh rằng \({v_n} = {v_{n + 3}}\)  với mọi \(n \ge 1.\)

a) Ta có 

Quảng cáo

\(\eqalign{
& {v_2} = – {3 \over 2}v_1^2 + {5 \over 2}{v_1} + 1 = – {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr
& {v_3} = – {3 \over 2}v_2^2 + {5 \over 2}{v_2} + 1\cr&\;\;\;\; = – {3 \over 2} \times {2^2} + {5 \over 2} \times 2 + 1 = 0 \cr
& {v_4} = – {3 \over 2}v_3^2 + {5 \over 2}{v_3} + 1\cr&\;\;\;\;= – {3 \over 2} \times {0^2} + {5 \over 2} \times 0 + 1 = 1 \cr} \)

b) Ta sẽ chứng minh \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1,\) bằng phương pháp quy nạp.

Từ giả thiết của bài ra và kết quả cuẩ phần a) ta có \({v_1} = {v_4}.\) Như vậy, ta có đẳng thức cần chứng minh khi \(n = 1.\)

Giả sử đã có đẳng thức nói trên khi \(n = k,k \in N^*,\) ta sẽ chứng minh ta cũng có đẳng thức đó khi \(n = k + 1.\)

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(({v_n})\) và giả thiết quy nạp ta có

\({v_{k + 4}} =  – {3 \over 2}v_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{v_{k + 3}} + 1 \)

         \(=  – {3 \over 2}v_k^2 + {5 \over 2}{v_k} + 1 = {v_{k + 1}}\)

Từ các chứng minh trên suy ra ta có \({v_n} = {v_{n + 3}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

 

Quảng cáo