Câu 3.25 trang 89 SBT Đại Số - Giải tích Nâng cao 11 Bài 2. Dãy số...

Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi

${u_1} = 1$ và ${u_{n + 1}} = {u_n} + 7$ với mọi $n \ge 1.$

a) Hãy tính ${u_2},{u_4}$ và ${u_6}.$

b) Chứng minh rằng ${u_n} = 7n - 6$  với mọi $n \ge 1.$

a) 

$\eqalign{ & {u_2} = 8 \cr & {u_4} = 22 \cr & {u_6} = 36 \cr}$

b) Ta sẽ chứng minh

${u_n} = 7n - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

với mọi $n \ge 1,$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1,$  ta có ${u_1} = 1 = 7.1 - 6.$ Như vậy, (1) đúng khi  $n = 1.$

Giả sử đã có (1) đúng khi $n = k,k \in N^*,$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k = 1.$

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $({u_n})$ và giả thiết quy nạp ta có

${u_{k + 1}} = {u_k} + 7 = 7.k- 6 + 7 = 7.(k + 1) - 6$

Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với mọi $n \ge 1.$