Câu 3.32 trang 91 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị...

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = 3x - 2.$

Với mỗi số nguyên dương n, gọi ${A_n}$ là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = n.

Xét dãy số $({u_n})$ với $u_n$ là tung độ của điểm $A_n$. Chứng minh rằng dãy số $({u_n})$ là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Với mỗi số $n \in N^*,$ vì điểm ${A_n}$ nằm trên đường thẳng $x = n$ nên hoành độ của nó bằng n . Do ${A_n}$ nằm trên đồ thị (C) nên tung độ ${u_n}$ của nó được xác định bởi công thức

                                      ${u_n} = 3n - 2.$

Như vậy, theo đề bài ta cần chứng minh dãy số $({u_n})$, với ${u_n} = 3n - 2$, là một cấp số cộng.

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n},$ ta có với mọi $n \ge 1;$

 ${u_{n + 1}} - {u_n} = (3.(n + 1) - 2) - (3n - 2) = 3$.

Từ đó suy ra $({u_n})$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 3.1 - 2 = 1$  và công sai $d = 3$.