Câu 3.33 trang 91 SBT Đại số 11 Nâng cao: Xét dãy số...

Xét dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_1} = a$ và ${u_{n + 1}} = 5 - {u_n}$ với mọi $n \ge 1,$ trong đó a là số thực.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số $({u_n})$ là một cấp số cộng.

Giả sử $({u_n})$ là một cấp số cộng. Khi đó, tồn tại một hằng số d sao cho

$\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = d.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Từ hệ thức xác định dãy số $({u_n})$ suy ra

$\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} - {u_n} = 5 - 2{u_n}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta được ${u_n} = {{5 - d} \over 2}$ với mọi $n \ge 1.$ Vì thế, $({u_n})$ là một dãy số không đổi. Suy ra, phải có ${u_2} = a$ hay $5 - a = a,$ dẫn tới $a = {5 \over 2}.$

Ngược lại, với $a = {5 \over 2}$ dễ dàng chứng minh được $u_n = {5 \over 2}$ với mọi $n\ge 1$. Vì thế dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với công sai $d=0$.

Tóm lại, có duy nhất giá trị a cần tìm là $a = {5 \over 2}$.