Câu 3.40 trang 92 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng cao: Cho cấp số cộng...

Cho cấp số cộng $({u_n})$ và cho các số nguyên dương m, k với $m < k$. Chứng minh rằng

                       ${u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.$

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.

Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng $({u_n})$, ta có

$\eqalign{ & {u_{k - m}} = {u_1} + (k - m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d - md \cr&= {u_k} - md, \cr & {u_{k + m}} = {u_1} + (k + m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d + md \cr&= {u_k} + md \cr}$

Từ đó suy ra ${u_{k - m}} + {u_{k + m}} = 2{u_k}$ hay ${u_k} = {{{u_{k - m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.$

Áp dụng. Với mỗi $n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},$ kí hiệu ${u_n}$ là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có ${u_3} = 2$ và ${u_1} + {u_7} = 10$

Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho $m = 3$ và $k = 4,$ ta được

                                ${u_4} = {{{u_1} + {u_7}} \over 2} = {{10} \over 2} = 5$

Suy ra $d = {u_4} - {u_3} = 5 - 2 = 3.$ Do đó

${u_1} = {u_3} - 2d = 2 - 2.3 =  - 4,$

${u_2} = {u_1} + d =  - 4 + 3 =  - 1,$

${u_5} = {u_4} + d = 5 + 3 = 8$

${u_6} = {u_5} + d = 8 + 3 = 11$ và ${u_7} = {u_6} + d = 11 + 3 = 14$