Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.40 trang 92 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng...

Câu 3.40 trang 92 Sách Toán Đại số lớp 11 SBT Nâng cao: Cho cấp số cộng...

Chia sẻ
Cho cấp số cộng. Câu 3.40 trang 92 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 3. Cấp số cộng

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k\). Chứng minh rằng

                       \({u_k} = {{{u_{k – m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.

Giải

Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng \(({u_n})\), ta có

\(\eqalign{
& {u_{k – m}} = {u_1} + (k – m – 1)d = {u_1} + (k – 1)d – md \cr&= {u_k} – md, \cr
& {u_{k + m}} = {u_1} + (k + m – 1)d = {u_1} + (k – 1)d + md \cr&= {u_k} + md \cr} \)

Từ đó suy ra \({u_{k – m}} + {u_{k + m}} = 2{u_k}\) hay \({u_k} = {{{u_{k – m}} + {u_{k + m}}} \over 2}.\)

Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số cộng cần tìm. Theo giả thiết cả bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1} + {u_7} = 10\)

Áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\) và \(k = 4,\) ta được

                                \({u_4} = {{{u_1} + {u_7}} \over 2} = {{10} \over 2} = 5\)

Suy ra \(d = {u_4} – {u_3} = 5 – 2 = 3.\) Do đó

\({u_1} = {u_3} – 2d = 2 – 2.3 =  – 4,\)

\({u_2} = {u_1} + d =  – 4 + 3 =  – 1,\)

\({u_5} = {u_4} + d = 5 + 3 = 8\)

\({u_6} = {u_5} + d = 8 + 3 = 11\) và \({u_7} = {u_6} + d = 11 + 3 = 14\)


Loading...