Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Xét dãy số...

Chia sẻ
Xét dãy số. Câu 3.48 trang 93 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 4. Cấp số nhân

Xét dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = a\) và \({u_{n + 1}} = {{12} \over {{u_n}}}\) với mọi \(n \ge 1,\) trong đó a là một số thực khác 0.

Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân.

Giải

Từ giả thiết \(a \ne 0\) dễ dàng suy ra \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.

Giả sử \(({u_n})\) là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số \(q > 0\) sao cho

                      \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với mọi \(n \ge 1\)     (1)

Từ (1) và hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra

                      \(u_n^2 = {{12} \over q}\) với mọi \(n \ge 1\)    (2)

Xét hai trường hợp sau:

– Trường hợp 1: \(a > 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được

                                \({u_n} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a = 2\sqrt 3 \)

– Trường hợp 2: \(a < 0.\) Khi đó, ta có \({u_n} < 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, từ (2) ta được

                                \({u_n} =  – {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\) với mọi \(n \ge 1.\)

Hay \(({u_n})\) là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \({u_2} = a\) hay \({{12} \over a} = a.\) Dẫn tới \(a =  – 2\sqrt 3 \)

Ngược lại:

– Với \(a = 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} = 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)

– Với \(a =  – 2\sqrt 3 \) dễ dàng chứng minh được \({u_n} =  – 2\sqrt 3 \) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó, dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân với công bộ \(q = 1\)

Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là \(a = 2\sqrt 3 \) và \(a =  – 2\sqrt 3 \).