Câu 3.53 trang 93 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho cấp số nhân...

Cho cấp số nhân $({u_n})$ có ${u_{20}} = 8{u_{17}}$ và ${u_3} + {u_5} = 272.$ Hãy tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho, ta có

$\left\{ \matrix{ {u_{20}} = 8{u_{17}} \hfill \cr {u_3} + {u_5} = 272 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^{19}} = 8.{u_1}.{q^{16}} \hfill \cr {u_1}.({q^2} + {q^4}) = 272 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^{16}}.({q^3} - 8) = 0 \hfill \cr {u_1}.{q^2}(1 + {q^2}) = 272 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Dễ thấy, ${u_1}.q \ne 0$; vì ngược lại thì phải có ${u_3} = {u_5} = 0,$ trái với giả thiết của bài ra. Do đó, ta có

$(I)$  $\Leftrightarrow {u_1} = 13,6$  và $q = 2.$