Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.62 trang 94 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao:...

Câu 3.62 trang 94 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Ba số x , y , z , theo thứ tự đó lập thành một cấp số...

Chia sẻ
Ba số x , y , z , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. . Câu 3.62 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 4. Cấp số nhân

Ba số x , y , z , theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng. Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13.

Giải

Vì dãy số \(x,y,z\) là một cấp số nhận nên \({y^2} = x.z\)

Kí hiệu d là công sai của cấp số cộng nhận các số \(x,y,z\) lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ 9, ta có \(y – x = 2d\) và \(x – y = \left( {z – x} \right) – \left( {y – x} \right) = 8d – 2d = 6d.\) Từ đó, suy ra \(z – y = 3.\left( {y – x} \right),\) hay \(z + 3x = 4y.\) Như vậy, từ các giả thiết của bài ra ta được

\(\left\{ \matrix{
{y^2} = x.z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
z + 3x = 4y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr
z + y + z = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right.\)

Từ (2) và (3), ta có \(x = {{5y – 13} \over 2}\) và \(z = {{39 – 7y} \over 2}.\) Thế x và z vào (1), ta được

                                \(4{y^2} = \left( {5y – 13} \right)\left( {39 – 7y} \right),\,\,hay\,\,3{y^2} – 22y + 39 = 0\)

Từ \(y = 3\) hoặc \(y = {{13} \over 3}\)

– Với  \(y = 3\) ta có \(x = {{5.3 – 13} \over 2} = 1\,\) và \(z = {{39 – 7.3} \over 2} = 9\)

– Với \(y = {{13} \over 3}\) ta có \(x = {{5 \times {{13} \over 3} – 13} \over 2} = {{13} \over 3}\) và \(z = {{39 – 7 \times {{13} \over 3}} \over 2} = {{13} \over 3}\)

Ngược lại, dễ thấy các số \(x = 1,y = 3,z = 9,\) cũng như các số \(x = {{13} \over 3}\),\(y = {{13} \over 3}\),\(z = {{13} \over 3}\), đều thỏa mãn các điều kiện của đề bài.