Advertisements (Quảng cáo)
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = \cos (3n + 1){\pi \over 6}.\)
a) Chứng minh rằng \({u_n} = {u_{n + 4}}\) với mọi \(n \ge 1.\)
b) Hãy tính tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
a) Ta có
\( {u_{n + 4}} = \cos \left( {3\left( {n + 4} \right) + 1} \right){\pi \over 6} \)
\(= \cos \left( {\left( {3n + 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right) = \cos \left( {3n + 1} \right){\pi \over 6} = {u_n}\) \(\forall n \ge 1.\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Kí hiệu S là tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\). Từ kết quả phần a) , ta được
\(S = 6\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Bằng cách tính trực tiếp, ta có: \({u_1} = – {1 \over 2},{u_2} = – {{\sqrt 3 } \over 2},{u_3} = {1 \over 2},{u_4} = {{\sqrt 3 } \over 2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) , ta được : \(S = – {{\sqrt 3 } \over 2}\)